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之前在gdkoi讲解是有人用 \(CDQ\) 分治A了day1 T3。好像分治FFT要用到，而且其他人都学过了，所以蒟蒻再次恶补一手之前的知识点。\(CDQ\) 显然是一个人的名字，陈丹琪（NOI2008金牌女选手）。
(资料图片仅供参考)
分治就是分治，“分而治之”的思想。显然CDQ分治不是普通的分治因为这一类问题又有一个共同特点就是 左区间会对右区间产生贡献。我们一般要先求左区间的答案，然后再求左区间对右区间的贡献，最后求右区间的答案。前置知识：归并排序求逆序对，不会的可以看一下这个。树状数组也要用到一点。
然后我们看一下这一题：翻转对。题目传送门题⽬描述给定⼀个⻓度为 \(n\) 的数组 \(nums\) ,如果 \(i < j\) 且 \(nums[i] > 2 * nums[j]\), 我们就将 \((i , j)\) , 称作⼀个重要翻转对。你需要返回给定数组中的重要翻转对的数量。数据规模\(n ≤ 100000\)
分析很明显这还只是普通的分治这题用一个简单的归并排序就可以完成，思路差不多，在归并排序求逆序对的代码稍微改一下，把逆序对变成了翻转对⽽已。
很明显这是网上抄的，主要是我的力扣账号忘记密码了
class Solution{ private int cnt; public int reversePairs(int[] nums){ int len=nums.length; sort(nums, Arrays.copyOf(nums, len),0,len-1); return cnt; } private void sort(int[] src,int[] dest,int s,int e){ if (s>=e){ return; } int mid=(s+e)>>1; sort(dest,src,s,mid); sort(dest,src,mid+1,e); merge(src,dest,s,mid,e); } private void merge(int[] src,int[] dest,int s,int mid,int e) { int i=s,j=mid+1,k=s; while (i<=mid&&j<=e){ if((long)src[i]>2*((long)src[j])){ cnt+=mid-i+1; j++; } else{ i++; } } i=s; j=mid+1; while(i<=mid&&j<=e){ if (src[i]<=src[j]){ dest[k++]=src[i++]; } else{ dest[k++]=src[j++]; } } while(i<=mid){ dest[k++]=src[i++]; } while(j<=e){ dest[k++]=src[j++]; } }}题目传送门这道题应该是学过 \(CDQ\) 分治的人都做过了（毕竟是版题，还是紫色的）。有 $ n $ 个元素，第 $ i $ 个元素有 $ a_i,b_i,c_i $ 三个属性，设 $ f(i) $ 表示满足 $ a_j \leq a_i $ 且 $ b_j \leq b_i $ 且 $ c_j \leq c_i $ 且 $ j \ne i $ 的 \(j\) 的数量。
对于 $ d \in [0, n) $，求 $ f(i) = d $ 的数量。
输入格式第一行两个整数 $ n,k $，表示元素数量和最大属性值。
接下来 $ n $ 行，每行三个整数 $ a_i ,b_i,c_i $，分别表示三个属性值。
输出格式$ n $ 行，第 $ d + 1 $ 行表示 $ f(i) = d $ 的 $ i $ 的数量。
样例 #1样例输入 #110 33 3 32 3 32 3 13 1 13 1 21 3 11 1 21 2 21 3 21 2 13130101001$ 1 \leq n \leq 10^5$，$1 \leq a_i, b_i, c_i \le k \leq 2 \times 10^5 $。
分析这题是一个三维偏序，我们先看一下把它转换成二维偏序 \(a_j \leq a_i\) \(b_j \leq b_i\) 时怎么做。我们把 \(a\) 为第一关键字排序，然后用树状数组动态维护维护 \(b_j \leq b_i\) 的个数，时间复杂度：\(O(n\log_2 n)\)
然后考虑本题。我们还是将 \(a\) 数组为第一关键字，\(b\) 数组为第二关键字，\(c\) 数组为第三关键字排序。然后用类似于普通分治的方法，将 \([l , r]\) 分成 \([l , mid]\) \([mid + 1 , r]\) 两个区间。两个区间内部按照 \(b\) 数组为第一关键字，\(c\) 数组为第二关键字排序，然后同时遍历两个子区间，利⽤树状数组将左区间对右区间的贡献统计到右区间上。可能有点难懂，大家可以看一下代码 感性理解一下，还是比较简单的。
#include #define fu(x , y , z) for(int x = y ; x <= z ; x ++)#define LL long long#define fd(x , y , z) for(int x = y ; x >= z ; x --)using namespace std;const int N = 2e5 + 5;int n , k , tr[N] , ans[N] , m;struct note { int cnt , a , b , c , ans;}s1[N] , s2[N];int read () { int val = 0 , fu = 1; char ch = getchar (); while (ch < "0" || ch > "9") { if (ch == "-") fu = -1; ch = getchar (); } while (ch >= "0" && ch <= "9") { val = val * 10 + (ch - "0"); ch = getchar (); } return val * fu;}bool comp1 (note x , note y) { if (x.a != y.a) return x.a < y.a; if (x.b != y.b) return x.b < y.b; if (x.c != y.c) return x.c < y.c;}int lowbit (int x) { return x & (-x); }bool comp2 (note x , note y) { if (x.b != y.b) return x.b < y.b; return x.c < y.c; }void Insert (int val , int sum) { int i = val; while (i <= k) { tr[i] += sum; i += lowbit(i); }}int query (int x) { int sum = 0; while (x) { sum += tr[x]; x -= lowbit (x); } return sum;}void cdq (int l , int r) { if (l == r) return; int mid = l + r >> 1; cdq (l , mid) , cdq (mid + 1 , r); sort (s2 + l , s2 + mid + 1 , comp2); sort (s2 + mid + 1 , s2 + r + 1 , comp2); int j = l; fu (i , mid + 1 , r) { while (s2[i].b >= s2[j].b && j <= mid) { Insert (s2[j].c , s2[j].cnt); j ++; } s2[i].ans += query (s2[i].c); } fu (i , l , j - 1) Insert (s2[i].c , -s2[i].cnt);} int main () { n = read () , k = read (); fu (i , 1 , n) s1[i].a = read () , s1[i].b = read () , s1[i].c = read (); sort (s1 + 1 , s1 + n + 1 , comp1); int t = 0; s1[n + 1] = {0 , 0 , 0 , 0 , 0}; fu (i , 1 , n) { t ++; if (s1[i].a != s1[i + 1].a || s1[i].b != s1[i + 1].b || s1[i].c != s1[i + 1].c) { s2[++ m] = s1[i]; s2[m].cnt = t; t = 0; } } cdq (1 , m); fu (i , 1 , m) ans[s2[i].cnt + s2[i].ans - 1] += s2[i].cnt; fu (i , 0 , n - 1) printf ("%d\n" , ans[i]); return 0;} 关键词：
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